Гаусс
Следующий важный шаг в теории чисел сделал Гаусс, опубликовавший в 1801 г. свой шедевр «Арифметические исследования». Книга сразу обеспечила теории чисел ведущую роль в математической науке. Отныне и впредь она оставалась ключевым компонентом математического мейнстрима. Гаусс в основном занимался собственными, новыми исследованиями, но также сумел заложить основы современной теории чисел и систематизировать идеи предшественников.
Одной из самых важных фундаментальных перемен была простая, но великолепная идея – модульная арифметика. Гаусс открыл новый вид числовой системы, аналогичный целым числам, но отличный в одном важном аспекте: некое определенное число, или модуль, было отождествлено с числом 0. Эта любопытная идея оказалась фундаментальной для нашего понимания свойств делимости обычных целых чисел.
Вот как выглядит идея Гаусса. Для целого числа m числа a и b сравнимы по модулю m, обозначенному так:
a b (mod m),
если разница a - b делится на m без остатка. Тогда арифметика по модулю m работает точно так же, как простая арифметика, но теперь мы можем заменить m на 0 на любом этапе вычислений. А значит, любое умножение на число m можно игнорировать.
Чтобы передать дух идеи Гаусса, часто прибегают к выражению «арифметика часов». На часах число 12 можно считать эквивалентным 0, поскольку каждые 12 часов их значенияd 12). Модульная арифметика подобна часам, для которых потребуется m часов на прохождение полного круга. Ничего удивительного, что модульная арифметика позволяет исследовать любые объекты, которые меняются по повторяющимся циклам.
«Арифметические исследования» используют модульную арифметику как основу для более глубоких идей, о трех из которых мы упомянем в этой книге.
Значительная ее часть описывает дальнейшее развитие наблюдений Ферма о том, что простые числа вида 4k + 1 являются суммой двух квадратов, а простые числа вида 4k - 1 – нет. Гаусс подтвердил этот результат как свойство целых чисел, которые можно записать в виде x2 + y2, где и x, и y – целые числа. Затем он спрашивает, что получится, если вместо этой формулы мы используем общую квадратичную форму: ax2 + bxy + cy2? Его теоремы слишком сложны для того, чтобы обсуждать их здесь, но дают практически полное понимание этого вопроса.
Следующая тема – закон квадратичной взаимности, завороживший и лишивший Гаусса покоя на долгие годы. Отправной точкой стал простой вопрос: как выглядят полные квадраты чисел по заданному модулю? Предположим, что модуль равен 11. Тогда получается последовательность квадратов (для чисел меньше 11):
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100,
откуда, уменьшая (по mod 11), получаем:
0 1 3 4 5 9,
где каждое число, не равное 0, появляется дважды. Эти числа и есть квадратичные вычеты по модулю 11.