Кластеры простых чисел и структура бесструктурности
Критическая оценка Митчеллом идеи, что наш взгляд обнаружил бы скопления звезд, даже если бы они были случайно распределены по полю зрения, применима не только к небесной сфере. Этот феномен лег в основу сюжета пилотного эпизода математического детективного сериала Numb3rs[127]. Во всем множестве ужасных преступлений, отмеченных булавками на настенной карте в штаб-квартире ФБР, нет никаких кластеров; следовательно, это работа одного хитрого серийного убийцы, намеренно оставляющего место между жертвами, а не всплески активности психопатов, не связанные между собой. Сюжет был задуман как детективная история, но с математической точки зрения он абсолютно корректен.
Наличие кластеров в случайных данных позволяет постичь суть происходящего даже в ситуациях, в которых вообще отсутствует элемент случайности, как в поведении простых чисел. Известный преподаватель математики из Университета Нью-Гемпшира Итан Чжан по прозвищу Том в 2013 году потряс весь мир чистой математики, когда объявил, что доказал гипотезу об ограниченных промежутках, касающуюся распределения простых чисел{119}. Чжан был лучшим студентом Пекинского университета, но, после того как в 1980-х годах переехал в США для получения ученой степени, так и не добился особых успехов. После 2001 года он не опубликовал ни одной научной работы. В какой-то момент Чжан вообще перестал заниматься академической математикой и продавал сэндвичи в метро, пока бывший однокурсник из Пекина не нашел его и не помог получить должность лектора в Университете Нью-Гемпшира. Все как будто говорило о том, что как ученый Чжан не состоялся. Именно поэтому большой неожиданностью стала его публикация с доказательством теоремы, которую безуспешно пытались одолеть некоторые крупнейшие специалисты по теории чисел.
Однако сам факт, что гипотеза оказалась истинной, не стал неожиданностью. Математики имеют репутацию неисправимых упрямцев, не верящих в существование феномена до тех пор, пока этот факт не будет установлен и доказан. Но это не совсем так. Все мы верили в истинность гипотезы об ограниченных промежутках еще до большого откровения Чжана, и все мы убеждены в истинности тесно связанной с ней гипотезы о простых числах-близнецах, хотя она до сих пор остается недоказанной. Почему?
Давайте начнем с того, о чем говорят эти две гипотезы. Простые числа – это числа больше 1, которые не делятся ни на какое число, кроме самого себя (и 1). Следовательно, 7 – это простое число, тогда как 9 – нет, поскольку оно делится на 3. Вот начало ряда простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Каждое положительное число можно выразить в виде произведения простых чисел только одним способом. Например, число 60 раскладывается на два раза по два, один раз три и один раз пять, поскольку 60 = 2 x 2 x 3 x 5. (Вот почему мы не держим единицу за простое число (хотя в прошлом некоторые математики считали именно так): это нарушило бы уникальность разложения, поскольку, если 1 считать простым числом, число 60 можно записать как 2 x 2 x 3 x 5, 1 x 2 x 2 x 3 x 5, 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 5…). Что можно сказать о самих простых числах? С ними все в порядке: любое простое число, скажем число 13, – это произведение одного простого числа, самого числа 13. А как насчет 1? Мы исключили 1 из списка простых чисел, так как это может быть произведением простых чисел, каждое из которых больше 1? Очень просто: 1 – это произведение нуля простых чисел.
В этот момент меня часто спрашивают: «Почему произведение нуля простых чисел равно 1, а не 0?» Вот одно несколько запутанное объяснение. Если взять произведение какого-то множества простых чисел, скажем чисел 2 и 3, а затем разделить его на умноженные простые числа, у вас останется произведение чисел, которых уже нет; при этом 6, разделенное на 6, равно 1, а не 0. (С другой стороны, сумма нуля чисел действительно равна 0.)[128]
Простые числа – элементарные частицы теории чисел, базовые неделимые элементы, из которых состоят все числа. По этой причине они были объектом активного изучения с самого начала теории чисел. Одной из первых теорем, доказанных в теории чисел, стала теорема Евклида, гласившая, что существует бесконечное количество простых чисел: они никогда не закончатся, каким бы длинным ни был числовой ряд, который может составить наш разум.
Однако математики всегда жаждут большего; они не желают удовлетворяться одним только утверждением о бесконечности. В конце концов, есть бесконечность и есть бесконечность. Существует бесконечное количество степеней числа 2, но они встречаются очень редко. В первой тысяче чисел всего десять степеней числа 2[129]:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и 512.
С другой стороны, существует бесконечно большое количество четных чисел, но они встречаются гораздо чаще: четных чисел в точности 500 из первых 1000 чисел. На самом деле очевидно, что из любых N чисел около (1/2) N чисел будут четными.
Как оказалось, простые числа занимают промежуточное положение: они более распространены, чем степени числа 2, но встречаются реже, чем четные числа. Из первых N чисел N/log N чисел являются простыми. Эту теорему о распределении простых чисел доказали в конце XIX столетия специалисты по теории чисел Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен.